Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，点A为抛物线上的一点，其纵坐标为1，|AF|=

5

4

．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设B，C为抛物线上不同于A的两点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由点A为抛物线上的一点，其纵坐标为1，|AF|=

5

4

，根据抛物线的定义，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）求出B、C处的切线方程，联立求出D的坐标，结合A（1，1）且AB⊥AC，求出|OD|，即可求出|OD|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线定义得：|AF|=yA+

p

2

，
∴

p

2

+1=

5

4

，
∴p=

1

2

------（2分）
∴抛物线方程为x²=y------（4分）
（Ⅱ）设B(x1，

x

2 1

)，C(x2，

x

2 2

)，则
∵A（1，1）且AB⊥AC，
∴

x 2 2 -1

x   2 -1

•

x 2 1 -1

x   1 -1

=-1
即（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2------（6分）
又∵y′=2x，∴B、C处的切线的斜率为k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴B、C处的切线方程为y-

x

2 1

=2x1(x-x1)和y-

x

2 2

=2x2(x-x2)
由

y- x 2 1 =2x1(x-x1) y- x 2 2 =2x2(x-x2)

得D(

x1+x2

2

，x1x2)------（8分）
设x₁x₂=t，由（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2得

x1+x2

2

=-1-

t

2

，
∴|OD|2=(-1-

t

2

)2+t2=

5

4

t2+t+1------（10分）
当t=-

2

5

时，|OD|2min=

4

5

，
∴|OD|min=

2 5

5

------（12分）

点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查抛物线的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．