Question

已知曲线C：

x2

m+2

+

y2

3-m

=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，过点D（0，4）的直线l与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若∠OMN为直角，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知条件利用椭圆的定义得到m+2＞3-m＞0，由此能求出m的取值范围．
（Ⅱ）m=2时，曲线C的方程为

x2

4

+y2=1，C为椭圆，设l的方程为y=kx+4，由

x2 4 +y2=1，  y=kx+4

得（1+4k²）x²+32kx+60=0，由此利用根的判别式结合题设条件能求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）若曲线C：

x2

m+2

+

y2

3-m

=1是焦点在x轴上的椭圆，
则有m+2＞3-m＞0，
解得

1

2

＜m＜3．
∴m的取值范围是（

1

2

，3）．（3分）
（Ⅱ）m=2时，曲线C的方程为

x2

4

+y2=1，C为椭圆，
由题意知，点D（0，4）的直线l的斜率存在，
∴设l的方程为y=kx+4，
由

x2 4 +y2=1，  y=kx+4

消去y得（1+4k²）x²+32kx+60=0．（5分）
△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
当△＞0时，解得k2＞

15

4

．
设M，N两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
因为∠OMN为直角，所以k_OM•k=-1，即

y1

x1

•

y1-4

x1

=-1，
整理得

x

2 1

=4y1-

y

2 1

．①（7分）
又

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，②，
将①代入②，消去x₁得3

y

2 1

+4y1-4=0，
解得y1=

2

3

或y₁=-2（舍去），
将y1=

2

3

代入①，得x1=±

2

3

5

，
∴k=

y1-4

x1

=±

5

．
故所求k的值为±

5

．（9分）

点评：本题考查椭圆中参数的取值范围的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的综合运用．