Question

已知函数f（x）=（x²-2ax+a²）lnx，a∈R，
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=-1时，令F（x）=

f(x)

x+1

+x-lnx，证明：F（x）≥-e^-2，其中e为自然对数的底数；
（3）若函数f（x）不存在极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数在某点取得极值的条件

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，由导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）证明F（x）在（0，e^-2）上单调递减，在（e^-2，+∞）上单调递增，即可得出结论；
（3）求导数，令g（x）=2xlnx+x-a，可得g（x）≥g（e-

1

2

）=-2e-

1

2

-a，分类讨论，即可得出结论．

解答： （1）解：当a=0时，f（x）=x²lnx（x＞0），则f′（x）=x（2lnx+1），
令f′（x）＞0，可得x＞e-

1

2

，令f′（x）＜0，可得0＜x＜e-

1

2

，
∴f（x）的单调递增区间为（e-

1

2

，+∞），单调递减区间为（0，e-

1

2

）；
（2）证明：F（x）=

f(x)

x+1

+x-lnx=xlnx+x，则F′（x）=2+lnx，
∴F（x）在（0，e^-2）上单调递减，在（e^-2，+∞）上单调递增，
∴F（x）≥F（e^-2）=-e^-2；
（3）解：∵f（x）=（x²-2ax+a²）lnx，
∴f′（x）=

x-a

x

（2xlnx+x-a），
令g（x）=2xlnx+x-a，则g′（x）=3+2lnx，
∴g（x）的单调递增区间为（e-

3

2

，+∞），单调递减区间为（0，e-

3

2

）；
∴g（x）≥g（e-

3

2

）=-2e-

3

2

-a．
①a≤0时，∵函数f（x）不存在极值点，∴-2e-

3

2

-a≥0，
∴a≤-2e-

3

2

；
②a＞0时，g（x）_min=-2e-

3

2

-a＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上存在零点，记为x₀，
∵函数f（x）不存在极值点，
∴x=a为方程f′（x）=0的重根，
∴2alna+a-a=0，∴a=1，
0＜a＜1时，x₀＜1且x₀≠a，函数f（x）的极值点为a和x₀；
a＞1时，x₀＞1且x₀≠a，函数f（x）的极值点为a和x₀；
a=1时，x₀=1，此时函数f（x）无极值．
综上，a≤-2e-

3

2

或a=1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．