Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点为F₁（3，0），设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，M、N分别为线段AF₁，BF₁的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，请运用椭圆的几何性质证明线段|AB|的长是定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆的对称性知|OA|=|OB|，由已知条件推导出OM⊥ON，四边形ONF₁M是平行四边形，由此能证明线段|AB|的长是定值．

解答： 证明：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1=1的右焦点为F₁（3，0），
直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，
∴由椭圆的对称性知|OA|=|OB|，
∵M、N分别为线段AF₁，BF₁的中点，
坐标原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，OM∥NF₁，ON∥MF₁，
∴四边形ONF₁M是平行四边形，
∴∠NF₁M=90°，即∠AF₁B=90°，
∴|AB|=2|OF₁|=2×3=6，
∴线段|AB|的长是定值6．

点评：本题考查线段长为定值的证明，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．