Question

已知函数f（x）=

x+1

ex

（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+

1

ex

，存在函数x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）确定函数的定义域，求导数．利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）假设存在x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，则2φ（x）_min＜φ（x）_max．分类讨论求最值，即可求实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=-

x

ex

…．（2分）
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…．（4分）
（2）假设存在x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，则2φ（x）_min＜φ（x）_max．
∵φ（x）=xf（x）+tf′（x）+

1

ex

=

x2+(1-t)x+1

ex

，
∴φ′（x）=

-(x-t)(x-1)

ex

…（6分）
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3-

e

2

＞1．…．（8分）
②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0．…．（10分）
③当0＜t＜1时，
在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增
∴2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即2•

t+1

et

＜{1，

3-t

e

}（*）
由（1）知，g（t）=2•

t+1

et

在[0，1]上单调递减
故

4

e

≤2•

t+1

et

≤2，而

2

e

≤

3-t

e

≤

3

e

，
∴不等式（*）无解
综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-

e

2

，+∞），使得命题成立．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．