Question

已知F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆于点D，且

BF

=

5

3

FD

．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设直线方程为y=2（x+a），利用

AB

=

6

13

BC

，确定B的坐标，利用B点在椭圆上，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设b²=3t．a²=4t，可得椭圆的方程为3x²+4y²-12t=0，与y=kx+m联立，利用动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，可得m²=3t+4k²t，求出P的坐标，利用x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（-a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x₁，y₁）
令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），----------------------（2分）
∴

AB

=(x1+a，y1)，

BC

=(-x1，2a-y1)----------------------（3分）
∵

AB

=

6

13

BC

，
∴x₁+a=

6

13

(-x1)，y1=

6

13

(2a-y1)，整理得x1=-

13

19

a，y1=

12

19

a--------------------（4分）
∵B点在椭圆上，∴(

13

19

)2+(

12

19

)2•

a2

b2

=1，∴

b2

a2

=

3

4

，----------------------（5分）
∴

a2-c2

a2

=

3

4

，即1-e2=

3

4

，∴e=

1

2

----------------------（6分）
（Ⅱ）∵

b2

a2

=

3

4

，可设b²=3t．a²=4t，
∴椭圆的方程为3x²+4y²-12t=0----------------------（7分）
由

3x2+4y2-12t=0 y=kx+m

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0----------------------（8分）
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P
∴△=0，即64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12t）=0
整理得m²=3t+4k²t----------------------（9分）
设P（x₁，y₁）则有x1=-

8km

2(3+4k2)

=-

4km

3+4k2

，y1=kx1+m=

3m

3+4k2

∴P(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)----------------------（10分）
又M（1，0），Q（4，4k+m）
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴(1+

4km

3+4k2

，-

3m

3+4k2

)•(-3，-(4k+m))=0恒成立
整理得3+4k²=m²，----------------------（12分）
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1----------------------（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．