Question

设公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}与公比为q（q＞0）的等比数列{b_n}有如下关系：a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅．
（Ⅰ）比较a₁₅与b₇的大小关系，并给出证明．
（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使得a_n=b_m？若存在，求出m，n之间所满足的关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅，结合等差数列、等比数列的通项，求出2d=b₁（q²-1），6d=b₁（q⁴-1），即可比较a₁₅与b₇的大小关系；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知q²=2，2d=b₁，利用a_n=b_m，即可求出m，n之间所满足的关系式．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}为等差数列，公差为d，
∴a₃=a₁+2d，a₇=a₁+6d，a₁₅=a₁+14d
∵{b_n}为等比数列，公比为q，
∴b₃=b₁q²，b₅=b₁q⁴，b₇=b₁q⁶，
∵a₁=b₁，a₃=b₃，
∴a₁+2d=b₁q²，
∴b₁+2d=b₁q²，
∴2d=b₁（q²-1）--（1）
∵a₇=b₅，
∴a₁+6d=b₁q⁴，
∴ba₁+6d=b₁q⁴，
∴6d=b₁（q⁴-1）--（2）
（2）÷（1）得：3=（q⁴-1）÷（q²-1），
∴q²+1=3，
∴q²=2，
∴2d=b₁（q²-1）=（2-1）b₁=b₁，
∴a₁₅=a₁+14d=b₁+7•（2d）=b₁+7b₁=8b₁，
b₇=b₁q⁶=b₁（q²）=8b₁，
∴a₁₅=b₇；
（Ⅱ）存在n+1=2

m+1

2

，使得a_n=b_m．证明如下：
由（Ⅰ）知q²=2，2d=b₁，
∵a_n=b_m，∴a₁+（n-1）d=b₁•q^m-1，
∴2b₁+（n-1）b₁=2b₁•2

m-1

2

，
∴n+1=2

m+1

2

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．