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    已知双曲线E：
    x2
    a2
    -
    y2
    4
    =1（a＞0）的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为
    3
    		5
    5
    ，点P是直线x=
    a2
    3
    上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足
    PF2
    •
    QF2
    =0．
    （1）求实数a的值；
    （2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
    （3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足
    |PM|
    |PN|
    =
    |MH|
    |HN|
    ，证明点H恒在一条定直线上．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线的斜率
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）设双曲线E的半焦距为c，根据离心率为
    3
    		5
    5
    ，双曲线方程，即可求实数a的值；
    （2）设点P(
    5
    3
     ，t)    ，Q（x0，y0），根据
    PF2
    •
    QF2
    =0，点Q（x0，y0）在双曲线E上，可得y02=
    4
    5
    (
    x
    2
    0
    -5)    ，表示出直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简可得结论；
    （3）设点H（x，y），且过点P(
    5
    3
     ，1)    的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），则4x12-5y12=20，4x22-5y22=20，即y12=
    4
    5
    (x12-5)    ，y22=
    4
    5
    (x22-5)    ，设
    |PM|
    |PN|
    =
    |MH|
    |HN|
    =λ    ，求出坐标之间的关系，化简可得点H恒在定直线4x-3y-12=0上．
    解答： （1）解：设双曲线E的半焦距为c，
    由题意可得
    c
    a
    =
    3
    		5
    5
    c2=a2+4.
    ，解得a=
    		5
    ．
    （2）证明：由（1）可知，直线x=
    a2
    3
    =
    5
    3
    ，点F2（3，0）．
    设点P(
    5
    3
     ，t)    ，Q（x0，y0），
    因为
    PF2
    •
    QF2
    =0    ，所以(3-
    5
    3
    ，-t)•(3-x0，-y0)=0    ，
    所以ty0=
    4
    3
    (x0-3)    ．
    因为点Q（x0，y0）在双曲线E上，所以
    x02
    5
    -
    y02
    4
    =1    ，即y02=
    4
    5
    (
    x
    2
    0
    -5)    ．
    所以kPQ•kOQ=
    y0-t
    x0-
    5
    3
    •
    y0
    x0
    =
    y
    2
    0
    -ty0
    x
    2
    0
    -
    5
    3
    x0
    =
    4
    5
    (
    x
    2
    0
    -5)-
    4
    3
    (x0-3)
    x02-
    5
    3
    x0
    =
    4
    5
    ．
    所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值
    4
    5
    ．
    （3）证明：设点H（x，y），且过点P(
    5
    3
     ，1)    的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），则4x12-5y12=20，4x22-5y22=20，即y12=
    4
    5
    (x12-5)    ，y22=
    4
    5
    (x22-5)    ．
    设
    |PM|
    |PN|
    =
    |MH|
    |HN|
    =λ    ，则
    PM
    =λ
    PN
     
    MH
    =λ
    HN
    .
    ．
    即
    (x1-
    5
    3
     ，y1-1)=λ(x2-
    5
    3
     ，y2-1) 
    (x-x1 ，y-y1)=λ(x2-x ，y2-y).

    整理，得
    x1-λx2=
    5
    3
     (1-λ)，①
    y1-λy2=1-λ，②
    x1+λx2=x(1+λ) ，③ 
    y1+λy2=y(1+λ)．，④

    由①×③，②×④得
    x12-λ2x22=
    5
    3
    (1-λ2)x ，⑤
    y12-λ2y22=(1-λ2)y．，⑥

    将y12=
    4
    5
    (x12-5)    ，y22=
    4
    5
    (x22-5)    代入⑥，
    得y=
    4
    5
    ×
    x12-λ2x22
    1-λ2
    -4    ．                         ⑦
    将⑤代入⑦，得y=
    4
    3
    x-4    ．
    所以点H恒在定直线4x-3y-12=0上．
    点评：本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    P是圆O：x2+y2=4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PQ中点M的轨迹记为Γ．
    （1）求Γ的方程；
    （2）若直线l：y=kx+3与曲线Γ相切，求直线l被圆O截得的弦长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若点A（1，2）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，经过点B（5，-2）的直线l与抛物线C交于P，Q两点．
    （Ⅰ）求证：
    PA
    •
    QA
    为定值；
    （Ⅱ）若点P，Q与点A不重合，问△APQ的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为e=
    		2
    2
    ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+
    		2
    =0相切．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设F1（-1，0），F2（1，0），若过F1的直线交曲线C于A、B两点，求
    F2A
    •
    F2B
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设公差为d（d≠0）的等差数列{an}与公比为q（q＞0）的等比数列{bn}有如下关系：a1=b1，a3=b3，a7=b5．
    （Ⅰ）比较a15与b7的大小关系，并给出证明．
    （Ⅱ）是否存在正整数m，n，使得an=bm？若存在，求出m，n之间所满足的关系式；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆G：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点，椭圆G与抛物线y2=-4x有一个公共的焦点，且过点（-
    		6
    2
    ，1    ）．
    （Ⅰ）求椭圆G的方程；
    （Ⅱ）设点P是椭圆G在第一象限上的任一点，连接PF1，PF2，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆G有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，试证明
    1
    kk1
    +
    1
    kk2
    为定值，并求出这个定值；
    （Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F2Q⊥F2P，设F2Q交l于点Q，证明：当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，
    		3
    ），N（0，-
    		3
    ），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P．
    （1）求轨迹P的方程；
    （2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l1：y=kx+b1与轨迹P相交于A，B两点，若y轴上存在一点Q，使得直线QA，QB关于y轴对称，求出点Q的坐标；
    （3）是否存在不过点E（0，1），且不垂直坐标轴的直线l，它与轨迹P及圆E：x2+（y-1）2=9从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足
    .
    ED
    -
    .
    EC
    =
    .
    EG
    -
    .
    EF
    ？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k2的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为（　　）
    A、相离B、相切
    C、相交但不经过圆心D、相交且经过圆心

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