Question

P是圆O：x²+y²=4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PQ中点M的轨迹记为Γ．
（1）求Γ的方程；
（2）若直线l：y=kx+3与曲线Γ相切，求直线l被圆O截得的弦长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M（x，y）是轨迹Γ上一点，对应的圆O上的点为P（x₀，y₀），利用相关点法能求出曲线Γ方程．
（2）由

x2 4 +y2=1 y=kx+3

，得（1+4k²）x²+24kx+32=0，由此利用分类讨论思想能求出直线l被圆O截得的弦长．

解答： 解：（1）设M（x，y）是轨迹Γ上任意一点，
对应的圆O上的点为P（x₀，y₀）…（1分），
则x02+y02=4…（2分），且

x=x0 y= y0 2

，即

x0=x y0=2y

，…（4分），
∴x 2+(2y)2=4…（5分），
即

x2

4

+y2=1，
∴曲线Γ方程为

x2

4

+y2=1…（6分）．
（2）由

x2 4 +y2=1 y=kx+3

…（7分），
得（1+4k²）x²+24kx+32=0…（8分）
∵直线l与曲线Γ相切，
∴△=（24k）²-4（1+4k²）•32=0…（9分）  
解得k²=2，则k=±

2

…（10分）
当k=

2

时，直线l：y=

2

x+3，
此时圆O的圆心到直线l的距离d=

3

2+1

=

3

…（12分），
直线l被圆O截得的弦长为2

4-3

=2…（13分）
当k=-

2

时，根据椭圆和圆的对称性知，直线l被圆O截得的弦长为2．…（14分）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线被圆截得的弦长的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．