Question

若点A（1，2）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，经过点B（5，-2）的直线l与抛物线C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求证：

PA

•

QA

为定值；
（Ⅱ）若点P，Q与点A不重合，问△APQ的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知条件求出抛物线C：y²=4x，若直线l的斜率不存在，直线l：x=5，

PA

•

QA

=0；若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x-5）-2，（k≠0），利用根的判别式和韦达定理能推导出

PA

•

QA

为定值0．
（II） 若直线l的斜率不存在，直线l：x=5，S△APQ=

1

2

×4

5

×4=8

5

；若直线l的斜率存在时，令u=(

1

k

+1)2，有u≥0，推导出S△APQ=8

u2+4u

没有最大值．

解答： 解：（I）∵点A（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C：y²=4x，（2分）
若直线l的斜率不存在，直线l：x=5，
此时P(5，2

5

)，Q(5，-2

5

)，A(1，2)，
∴

PA

•

QA

=(-4，2-2

5

)•(-4，2+2

5

)=0，（3分）
若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x-5）-2，（k≠0），
点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立

y2=4x y=k(x-5)-2

，
消去x，得ky²-4y-4（5k+2）=0，
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=-

20k+8

k

=-20-

8

k

，
△=16+16k（5k+2）＞0，（5分）
∴

PA

•

QA

=（1-x₁，3=2-y₁）•（1-x₂，2-y₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂+4-2（y₁+y₂）+y₁y₂
=1-

y12+y22

4

+

y12y22

16

+4-2（y₁+y₂）+y₁y₂
=1-

(y1+y2)2-2y1y2

4

+

y12y22

16

+4-2（y₁+y₂）+y₁y₂
=1-

16 k2 +40+ 16 k

4

+

(-20- 8 k )2

16

+4-

8

k

-20-

8

k

=0，
∴

PA

•

QA

为定值0．（7分）
（II） 若直线l的斜率不存在，直线l：x=5，
此时P(5，2

5

)，Q(5，-2

5

)，A(1，2)，
S△APQ=

1

2

×4

5

×4=8

5

若直线l的斜率存在时，
|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 k2

•

80k2+32k+16 k2

，（9分）
点A（1，2）到直线l：y=k（x-5）-2的距离h=

4|k+1|

1+k2

，（10分）
S△APQ=

1

2

•|PQ|•h=8

(5k2+2k+1)(k+1)2 k4

，
令u=(

1

k

+1)2，有u≥0，
则S△APQ=8

u2+4u

没有最大值．（12分）

点评：本题考查两个向量的数量积为定理，考查三角形的面积是否有最大值的判断，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．