Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F₁（-1，0），F₂（1，0），若过F₁的直线交曲线C于A、B两点，求

F2A

•

F2B

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）由直线到圆的距离计算出b，再写出标准方程；
（Ⅱ）①当AB斜率为0时，计算

F2A

•

F2B

的值，
②当AB的斜率不为0时，设出AB的方程为：x+1=my，联立方程组，求出

F2A

•

F2B

的表达式，再计算其范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+

2

=0与圆相切，∴d=

2

2

=b，即b=1，
又e=

c

a

=

2

2

，及a²=b²+c²，得a=2，所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）①当直线AB的斜率为0时，A（-

2

，0），B（

2

，0）时，

F2A

•

F2B

=-1
②当直线AB的斜率不为0时，不妨设AB的方程为：x+1=my
由

x+1=my x2 2 +y2=1

 得：（m²+2）y²-2my-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则：y1+y2=

2m

m2+2

，y1y2=-

1

m2+2

，
∴

F2A

•

F2B

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（my₁-2，y₁）•（my₂-2，y₂）
=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4
=-

m2+1

m2+2

-2m•

2m

m2+2

+4=

-5m2-1

m2+2

+4
=-1+

9

m2+2

∈(-1，

7

2

]，
由①、②得：

F2A

•

F2B

的取值范围为[-1，

7

2

]．

点评：本题是圆锥曲线和向量知识的综合，是高考中的常见考点，本题中设而不求得数学方法也是圆锥曲线中最常见的解题方法，计算时不要忘了分两种情况讨论．另外，本题也给我们提供了一种解决圆锥曲线问题的思路--向量的方法．