Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且点（

2

，

6

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A，B分别是椭圆C的左右顶点，直线经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，直线AP交于点M，设直线OM，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆C的焦距为2，可得a²-b²=1，根据点（

2

，

6

2

）在椭圆C上，求出参数a，b，即可求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：法1：由条件可得直线PB的方程，代入椭圆方程，求出P的坐标，可得PA的方程，令x=2，得y=-

3

k2

，即M(2，-

3

k2

)，即可证明结论；法2：利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C的焦距为2，
∴c=1，∴a²-b²=1①--（2分）
又点(

2

，

6

2

)在椭圆C上⇒

2

a2

+

3

2b2

=1②--（4分）
联立①②得a²=4，b²=3，或a2=

1

2

＜1（会去）
故椭圆C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1．--（6分）
（Ⅱ）证明：法1：由条件可得直线PB的方程为：y=k₂（x-2），设P（x_P，y_P）．
由

y=k2(x-2) x2 4 + y2 3 =1

，得(3+4k22)x2-16k22x+16k22-12=0（*）--（8分）
易知x_P，2为（*）方程的两根，则2xP=

16 k 2 2 -12

3+4 k 2 2

，
∴xP=

8 k 2 2 -6

3+4 k 2 2

，yP=

-12k2

3+4 k 2 2

，
则kPA=

-12k2 3+4 k 2 2

8 k 2 2 -6 3+4 k 2 2 +2

=-

3

4k2

．--（10分）
故直线PA的方程为：y=-

3

4k2

(x+2)．
令x=2，得y=-

3

k2

，即M(2，-

3

k2

)，则k1=

- 3 k2

2

=-

3

2k2

，∴k1k2=-

3

2

．--（12分）
法2：P（x_P，y_P）（x_p≠±2），M（2，y_M），则k2=

yP

xP-2

，且

xP2

4

+

yP2

3

=1．
又A，P，M三点共线，则

AP

∥

AM

．
∵

AP

=(xP+2，yP)，

AM

=(4，yM)，
∴4yP=yM(xP+2)⇒yM=

4y P

xP+2

．
则k1=

2yP

xp+2

，∴k1k2=

2yP

xP2-4

=

6(1- xP2 4 )

xP2-4

=-

3

2

．

点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．