Question

若

m2x-1

mx+1

＜0（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：设f（x）=

m2x-1

mx+1

，m≠0，可求得f′（x）=

m(m+1)

(mx+1)2

，依题意，要使f（x）＜0恒成立，需对m分m＞0，-1＜m＜0，及m=-1三类讨论，利用函数的单调性即可求得答案．

解答： 解：∵设f（x）=

m2x-1

mx+1

，m≠0，
则f′（x）=

m2(mx+1)-m(m2x-1)

(mx+1)2

=

m(m+1)

(mx+1)2

，
∵x≥4，要使f（x）＜0恒成立，需分3种情况：
①若m＞0或m＜-1，f′（x）＞0，f（x）是增函数，f（4）=

4m2-1

4m+1

＜0，且

lim

x→+∞

m2x-1

mx+1

=m＜0；
解得：m＜-1；
∴m＜-1；
②若-1＜m＜0，f′（x）＜0，f（x）是减函数，f（4）=

4m2-1

4m+1

＜0，
解得：-1＜m＜-

1

2

，或-

1

4

＜m＜0；
∴-1＜m＜-

1

2

或-

1

4

＜m＜0；
③若m=-1，f（x）=

x-1

-x+1

=-1＜0．
综上所述，m的取值范围是（-∞，-

1

2

）∪（-

1

4

，0）
故答案为：（-∞，-

1

2

））∪（-

1

4

，0）．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数思想与分类讨论思想的综合运用，考查导数法判定函数的单调性，属于难题．