Question

已知曲线y=x²在点（n，n²）处的切线方程为

x

an

-

y

bn

=1，其中n∈N^*
（1）求a_n，b_n关于n的表达式；
（2）设C_n=

1

an+bn

，求证：c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

；
（3）设d_n=

4an

λ•4an+1-λ

，其中0＜λ＜1，求证：d₁+d₂+…+d_n＞

nλ+λ-1

λ2

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由导数的几何意义求出曲线y=x²在点（n，n²）处的切线方程，由此能求出a_n，b_n关于n的表达式．
（2）n=1时，C₁=

2

3

＜

4

3

，成立．当n≥2时，c_n=

4

2n(2n+1)

＜

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂项求和法能证明c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

．
（3）由题意推导出dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

＞

λ-1

λ2

•

1

2n

，由此能证明d₁+d₂+…+d_n＞

n

λ

+

λ-1

λ2

=

nλ+λ-1

λ2

．

解答： 解：（1）∵y=x²，∴y′=2x，
∴曲线y=x²在点（n，n²）处的切线方程为：
y-n²=2n（x-n），整理，得

x

n 2

-

y

n2

=1，
∵曲线y=x²在点（n，n²）处的切线方程为

x

an

-

y

bn

=1，
∴an=

n

2

，bn=n2．
（2）∵an=

n

2

，bn=n2，C_n=

1

an+bn

，
∴n=1时，C₁=

1

1 2 +1

=

2

3

＜

4

3

，成立．
当n≥2时，
C_n=

1

an+bn

=

1

n 2 +n2

=

4

2n(2n+1)

＜

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴c₁+c₂+…+c_n
＜c₁+2（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

2

3

+2（

1

3

-

1

2n+1

）＜

4

3

．
（3）∵an=

n

2

，
∴d_n=

4an

λ•4an+1-λ

=

2n

λ•2n+1-λ

，
dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

，
∵0＜λ＜1，∴

λ-1

λ

＜0，λ•2ⁿ+1-λ＞λ•2ⁿ＞0，
∴

1

λ•2n+1-λ

＜

1

λ•2n

∴dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

＞

λ-1

λ

•

1

λ•2n

=

λ-1

λ2

•

1

2n

，
（d1-

1

λ

）+（d2-

1

λ

）+…+（dn-

1

λ

）＞

λ-1

λ2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)．
∵

λ-1

λ2

＜0，

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
∴

λ-1

λ2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)＞

λ-1

λ2

，
∴（d1-

1

λ

）+（d2-

1

λ

）+…+（dn-

1

λ

）＞

λ-1

λ2

，
∴d₁+d₂+…+d_n＞

n

λ

+

λ-1

λ2

=

nλ+λ-1

λ2

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查不等式成立的证明，综合性强，难度大，解题时要注意导数性质的应用，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．