Question

判断下列命题，其中正确的为

 

①若sinα＞0，则α角的终边落在第一或第二象限；
②函数y=2^x（x＜1）的值域为{y|y＜2}；
③函数f(x)=loga

2-sinx

2+sinx

（a＞0且a≠1）在定义域内是奇函数；
④sinx-cosx=

2

2

，则sin³x-cos³x=

5 2

8

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：①由正弦函数的图象与性质得出sinα＞0时，α角的取值范围，即可判定命题是否正确；
②由指数函数y=2^x的图象与性质得出x＜1时，y=2^x的值域；
③由函数的奇偶性定义判定f(x)=loga

2-sinx

2+sinx

的奇偶性即可；
④由sinx-cosx=

2

2

两边平方，求出sinxcosx的值，把sin³x-cos³x因式分解，即可计算结果．

解答： 解：①考查正弦函数的图象知，
当sinα＞0时，α角的终边落在第一、第二象限或y正半轴上，
∴命题①错误；
②考查指数函数y=2^x的图象知，
当x＜1时，y=2^x的值域是{y|0＜y＜2}，
∴命题②错误；
③∵函数f(x)=loga

2-sinx

2+sinx

的定义域为R，
对?x∈R，有f（-x）=log_a

2-sin(-x)

2+sin(-x)

=log_a(

2-sinx

2+sinx

)-1=-log_a

2-sinx

2+sinx

=-f（x）
（其中a＞0且a≠1），
∴f（x）是R上的奇函数，
∴命题③正确；
④∵sinx-cosx=

2

2

，
∴1-2sinxcosx=

1

2

，
∴sinxcosx=

1

4

，
∴sin³x-cos³x=（sinx-cosx）（sin²x+sinxcosx+cos²x）
=

2

2

×（1+

1

4

）
=

5 2

8

，
∴命题④正确；
所以，正确的命题是③④．
故答案为：③④．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换以及指数函数与对数函数的问题，是综合题．