Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）若，求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）普通方程为.直角坐标方程为;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据参普互化的公式，以及极坐标和直角坐标互化的公式得到结果；（Ⅱ）通过分析临界情况，即直线和圆的相切的情况，进而得到满足有2个交点是直线的倾斜角的范围.

（Ⅰ）当时，直线的参数方程为.

所以其普通方程为.

对于曲线，由，得，

所以其直角坐标方程为.

（Ⅱ）由题意得，直线过定点，为其倾斜角，曲线：，表示以为圆心，以1为半径的圆.

当时，直线为，此时直线与圆不相交.

当时，设表示直线的斜率，则：.

设圆心到直线的距离为.

当直线与圆相切时，令，解得或.

则当直线与圆有两个不同的交点时，.

因为，由，可得，

即的取值范围为.