Question

4．某班同学在暑假期间进行社会实践活动，从本地[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行
了一次有关“房地产投资”的调查，得到如下统计数据和频率分布直方图：

组数	分组	房地产投资的人数	占本组的频率
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	P
第三组	[35，40）	100	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	30	0.3
第六组	[50，55]	15	0.3

（Ⅰ）求n，a，p的值；
（Ⅱ）从年龄在[40，50）岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理学习活动，并从中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在
[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出年龄在[25，30）岁的总人数，根据频率分布直方图，求出抽取的人数，进而求出年龄在[40，45）岁的人数，由此能求出n，a，p．
（Ⅱ）依题意，抽取年龄在[40，45）岁的有6人，抽取年龄在[45，50）岁的有3人，则X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）年龄在[25，30）岁的总人数为$\frac{120}{0.6}=200$，
根据频率分布直方图，抽取的人数为n=$\frac{200}{5×0.04}$=1000，
∴年龄在[40，45）岁的人数为1000×5×0.03=150，
∴a=150×0.4=60．
∵年龄在[30，35）岁的人数的频率为1-5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，
∴年龄在[30，35）岁的人数为1000×0.3=300，
∴p=$\frac{195}{300}$=0.65．
（Ⅱ）依题意，抽取年龄在[40，45）岁的有6人，抽取年龄在[45，50）岁的有3人，
则X=0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{18}{84}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{45}{84}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{20}{84}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{48}{84}$	$\frac{20}{84}$

EX=$0×\frac{1}{84}+1×\frac{18}{84}+2×\frac{45}{84}+3×\frac{20}{84}$=2．

点评 本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列及期望，考查数据处理能力和运算求解能力，是中档题．