Question

已知函数f（x）=e^x（ax+1）（其中e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）当a=1时，设g（x）=f（lnx）-x，求g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）已知2^

1

x

＞x^m对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）当a=1时，g（x）=xlnx，利用其导数得g（x）在（0，

1

e

）上递减，在（

1

e

，+∞）上递增，再对字母t进行分类讨论：①．当0＜t≤

1

e

时，②．当t＞

1

e

时，即可求出g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（III）由于2 

1

x

＞x^m＞0，两边取对数得ln2 

1

x

＞lnx^m，从而有m＞

ln2

xlnx

，令y=

ln2

xlnx

，利用其导数研究它的单调性，即可求出实数m的取值范围．

解答：解：（I）f′（x）=e^x[ax+（a+1）]…1
①．当a=0时，f′（x）=e^x  在R上递增…2   
②．当a＞0时，（-∞，-

a+1

a

）上递减，（-

a+1

a

，+∞）递增…3
③．当a＜0时，（-∞，-

a+1

a

）上递增，（-

a+1

a

，+∞）递减…4
（II）g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx…5   
g（x）在（0，

1

e

）上递减，在（

1

e

，+∞）上递增…6
①．当0＜t≤

1

e

时，t+2＞

1

e

．g_min（x）=g（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

…7   
②．当t＞

1

e

时，g_min（x）=g（t）=tlnt…8
（III）∵2 

1

x

＞x^m＞0，所以ln2 

1

x

＞lnx^m，得m＞

ln2

xlnx

…10  
令y=

ln2

xlnx

，y′=

-ln22(1+lnx)

(xlnx)2

…11
在（0，

1

e

）递增，在（

1

e

，+∞）递减．
所以y_max=-eln2….12   
所以：m＞-eln2…..13

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．