Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若函数f（x）在区间(0，

2

3

)内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）；
（3）对（2）中的h（a），若关于a的方程h(a)=m(a+

1

2

)有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数在某区间单调递减转化成导函数在该区间≤0恒成立，分离参数转化成求函数最值．
（2）令导数为0，求得根，讨论根与区间[1，2]的关系，判断根左右两边的符号求出最小值．
（3）方程有两不等根转化成函数图象有两不同交点．

解答：（1）解：∵f（x）=x³-ax²，∴f′（x）=3x²-2ax．
∵函数f（x）在区间(0，

2

3

)内是减函数，
∴f′（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立．
即a≥

3x

2

在(0，

2

3

)上恒成立，
∵

3x

2

＞

3

2

×

2

3

=1，∴a≥1．
故实数a的取值范围为[1，+∞）；

（2）解：∵f′(x)=3x(x-

2

3

a)，
令f′（x）=0得x=0或

2

3

a．
①若a≤0，则当1≤x≤2时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a．
②若0＜a＜

3

2

，即0＜

2

3

a＜1，
则当1≤x≤2时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a．
③若

3

2

≤a＜3，即1≤

2

3

a＜2，
则当1＜x＜

2

3

a时，f′（x）＜0；
当

2

3

a＜x＜2时，f′（x）＞0．
所以f（x）在区间[1，

2

3

a]上是减函数，
在区间[

2

3

a，2]上是增函数．
所以h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3
④若a≥3，即

2

3

a≥2，则当1＜x＜2时，
f′（x）＜0，所以f（x）在区间[1，2]上是减函数．
所以h（a）=f（2）=8-4a．
综上所述，函数f（x）在区间[1，2]的最小值h(a)=

1-a，a＜ 3 2 - 4 27 a3， 3 2 ≤a＜3 8-4a，a≥3

；

（3）解：由题意h(a)=m(a+

1

2

)有两个不相等的实数解，
即（2）中函数h（a）的图象与直线y=m(a+

1

2

)有两个
不同的交点．
而直线y=m(a+

1

2

)恒过定点(-

1

2

，0)，
由如图知实数m的取值范围是（-4，-1）．

点评：本题考查导数解决单调性问题；不等式恒成立问题；导数求最值问题；方程根问题；数形结合思想；转化化归思想．