Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=

1

2

，且a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+la_n-1（n≥2），则a₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式得到数列{

1

an

}是等差数列，由已知求出公差，得到其通项公式，进一步求得a_n，则答案可求．

解答： 解：由a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+la_n-1（n≥2），得：
a_na_n-1+a_na_n+1=2a_n+1a_n-1，
即

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

．
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

．
∵a₁=1，a₂=

1

2

，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，以

1

a2

-

1

a1

=2-1=1为公差的等差数列．
∴

1

an

=n，
则an=

1

n

．
∴a₂₀₁₃=

1

2013

．
故答案为：

1

2013

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．