Question

已知圆x²＋y²－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．

Answer 1

＝1

在方程x²＋y²－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0,3)．设题中双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．∵点A在双曲线上，∴＝1.
∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴双曲线的焦点为(0，－9)，(0,9)．
a²＋b²＝81.∴a²＝9，b²＝72.
∴此双曲线的标准方程为＝1.