Question

对于函数f(x)=ax²+(b+1)x+b-2(a¹0)，若存在实数x₀，使f(x₀)=x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．

（1）当a=2，b=-2时，求f(x)的不动点；

（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)的图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且直线y=kx+是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a¹0)， （1）当a=2，b=-2时，f(x)=2x2-x-4．设x为其不动点， 即2x2-x-4=x．则2x2-x-4=0． ∴ x1=-1，x2=2．即f(x)的不动点是-1，2． （2）由f(x)=x，得：ax2+bx+b-2=0． 由已知，此方程有相异二实根，Dx>0恒成立，即b2-4a(b-2)>0 即b2-4ab+8a>0对任意bÎR恒成立． ∴ Db<0，∴ 16a2-32a<0   ∴ 0<a<2． （3）设A(x1，x1)，B(x2，x2)，直线y=kx+是线段AB的垂直平分线， ∴ k=-1记AB的中点M(x0，x0)． 由（2）知x0=， ∵ M在y=kx+上，∴ ． 化简得 ∴ bÎ[，0)．