Question

11．已知函数f（x）=$\frac{a+lnx}{{x}^{2}}$（a∈R）
（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）问题转化为a≤x²-lnx，令g（x）=x²-lnx，求出函数g（x）的导数，得到g（x）的最小值，从而求出a的范围；
（2）先求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）≤1即：a≤x²-lnx，
令g（x）=x²-lnx，则g′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
令g′（x）=0，得，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，g（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上为减函数，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）为增函数，
所以g（x）最小值为g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以a≤$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$；           
（2）f′（x）=-$\frac{2lnx-（1-2a）}{{x}^{3}}$，
令f′（x）=0，得x=${e}^{\frac{1-2a}{2}}$，所以f（x）在（0，${e}^{\frac{1-2a}{2}}$）上为增函数，在（${e}^{\frac{1-2a}{2}}$，+∞）为减函数，
若a≤$\frac{1}{2}$，则${e}^{\frac{1-2a}{2}}$≥1，f（x）在（0，1]上为增函数，所以f（x）_max=f（1）=a，
若a＞$\frac{1}{2}$，则${e}^{\frac{1-2a}{2}}$＜1，f（x）在（0，${e}^{\frac{1-2a}{2}}$）上为增函数，在（${e}^{\frac{1-2a}{2}}$，1]为减函数，
所以f（x）_max=f（${e}^{\frac{1-2a}{2}}$=$\frac{1}{{2e}^{1-2a}}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．