Question

19．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的两焦点，P为椭圆上一点，△PF₁F₂的面积为$\sqrt{3}$，求∠F₁PF₂的大小．

Answer 1

分析 通过画出草图，利用三角形面积可确定点P在y轴上，结合椭圆定义可知△PF₁F₂为等边三角形，进而即得结论．

解答 解：不妨设P在x轴上方，过P作x轴垂线交x轴于H．
∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴|F₁F₂|=2，
∵△PF₁F₂的面积为$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|PH|=$\sqrt{3}$，
∴|PH|=$\sqrt{3}$，即点P在y轴上，
由椭圆定义可知：|PF₁|=|PF₂|=2，
∴△PF₁F₂为等边三角形，
∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合，注意解题方法的积累，属于基础题．