Question

8．如图，已知抛物线y²=4x，点P（a，0）是x轴上的一点，经过点P且斜率为1的直线l与抛物线相交于A，B两点．
（1）求证线段AB的中点在一条定直线上，并求出该直线方程；
（2）若|AB|=4|OP|（O为坐标原点），求a的值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀）．利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．
（2）把直线l：x=y+a的方程与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式、两点之间的距离公式即可得出．

解答 （1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点为M（x₀，y₀）．
则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
相减可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，y₁+y₂=2y₀，
所以2y₀=4，从而y₀=2．
故线段AB的中点在直线y=2上．
（2）直线l：x=y+a，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y+a}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得y²-4y-4a=0．
△=16（a+1），y₁+y₂=4，y₁y₂=-4a，
则|AB|=$\sqrt{2}$|y₁-y₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=4$\sqrt{2（a+1）}$，
若|AB|=4|OP|，则4$\sqrt{2（a+1）}$=4|a|，
即a²-2a-2=0．
解得a=1±$\sqrt{3}$．此时△＞0
所以a=1±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．