Question

3．已知：a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 根据条件可化为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}{b}$+$\frac{a+b+c}{c}$，应用基本不等式即可证得结论

解答 证明：由题意知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}{b}$+$\frac{a+b+c}{c}$=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$）
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2，$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$≥2，$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$≥2．
当且仅当a=b=c时，取等号，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9．

点评 本题考查基本不等式，难点在于对条件的合理转化，本题属于中档题．