Question

13．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin²A=sin²B+sin²C-sinBsinC，a=2$\sqrt{3}$，则b+c的取值范围是（6，4$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 运用正弦定理和余弦定理，可得角A，由内角和定理，再由正弦定理，可得b+c=4（sinB+sinC），运用两角和差的正弦公式，结合余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解：运用正弦定理，
sin²A=sin²B+sin²C-sinBsinC即为：
a²=b²+c²-bc，
即有cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
可得A=60°，
B+C=120°，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
即有b=4sinB，c=4sinC，
令B=60°+α，C=60°-α，（-30°＜α＜30°），
则b+c=4（sinB+sinC）
=4[sin（60°+α）+sin（60°-α）]
=8sin60°cosα=4$\sqrt{3}$cosα，
由-30°＜α＜30°，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosα≤1，
即有b+c的范围为（6，4$\sqrt{3}$]．
故答案为：（6，4$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，余弦函数的值域，属于中档题．