Question

【题目】（本小题共分）

若或，则称为和的一个位排列，对于，将排列记为，将排列记为，依此类推，直至，对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做和的相关值，记作，例如，则，，若，则称为最佳排列．

（Ⅰ）写出所有的最佳排列．

（Ⅱ）证明：不存在最佳排列．

（Ⅲ）若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据最佳排列的定义可得，最佳排列为、、、、、；（Ⅱ）由，可得，，，，之中有个，个，而经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在，使得；（Ⅲ）与每个人有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不同，设， ，中有个，个，则，可得，解得或，从而得出结论.

试题解析：（Ⅰ）最佳排列为、、、、、．

（Ⅱ）设，则，

因为，

所以，，，，之中有个，个，

按的顺序研究数码变化，

有上述分析可知由次数码不发生改变，有次数码发生了改变，

但是经过奇数次数码改变不能回到自身，

所以不存在，

使得，

从而不存在最佳排列．

（Ⅲ）由或，，，，

得，，，

，

，

以上各式求和得，，

另一方面，还可以这样求和：设， ，中有个，个，

则，

所以，

得或，

所以排列中的个数是或个．