Question

13．已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证ac+bd≤$\sqrt{{（a}^{2}+{b}^{2}）（{c}^{2}+{d}^{2}）}$．

Answer 1

分析 法一：利用分析法逐步推出0≤（bc-ad）²，得到结果即可．
法二：利用综合法，通过利用重要不等式，证明即可．

解答 （本小题满分10分）
证明：法一：（分析法）
a，b，c，d∈（0，+∞），欲证ac+bd≤$\sqrt{{（a}^{2}+{b}^{2}）（{c}^{2}+{d}^{2}）}$，只需证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），
即证a²c²+2abcd+b²d²≤a²c²+b²d²+a²d²+b²c²，即证2abcd≤a²d²+b²c²，
即证0≤（bc-ad）²，而a，b，c，d∈（0，+∞），0≤（bc-ad）²显然成立，
故原不等式成立．
法二：（综合法）（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²≥a²c²+b²d²+2abcd
=（ac+bd）²，所以$\sqrt{{（a}^{2}+{b}^{2}）（{c}^{2}+{d}^{2}）}$≥ac+bd．

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力．