Question

3．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定
点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB，CD不重合）．
（Ⅰ）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（Ⅱ）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）
（Ⅲ）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 （1）当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，从而可求MN的长，由三角形面积公式求面积；
（2）当MN在矩形区域内滑动，即x∈（0，$\frac{1}{2}$），由三角形面积公式建立面积模型．当MN在半圆形区域内滑动，即x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）时，由三角形面积公式建立面积模型；
（3）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．

解答 解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，
MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，
又因为EM=EN=1米，所以MN=$\sqrt{3}$米，
所以S_△EMN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即三角通风窗EMN的通风面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）当MN在矩形区域内滑动，即x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，
△EMN的面积S=$\frac{1}{2}$MN•（$\frac{1}{2}$-x）=$\frac{1}{2}$-x；
当MN在半圆形区域内滑动，即x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）时，
△EMN的面积S=（x-$\frac{1}{2}$）•$\sqrt{1-（x-\frac{1}{2}）^{2}}$．
综上可得S=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-x，x∈（0，\frac{1}{2}）}\\{（x-\frac{1}{2}）•\sqrt{1-（x-\frac{1}{2}）^{2}}，x∈（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）}\end{array}\right.$；
（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
则f（x）＜f（0）=$\frac{1}{2}$；
当MN在半圆形区域内滑动，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）•$\sqrt{1-（x-\frac{1}{2}）^{2}}$
≤$\frac{（x-\frac{1}{2}）^{2}+1-（x-\frac{1}{2}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，等号成立时，x=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$）．
因此当x=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$）（米）时，每个三角形得到最大通风面积为$\frac{1}{2}$平方米．

点评 本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了三角形面积公式，分段函数求最值以及基本不等式法等解题方法．