Question

12．已知等差数列公差为d，且a_n≠0，d≠0，则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$可化简为（　　）

• A． $\frac{nd}{{a}_{1}（{a}_{1}+nd）}$
• B． $\frac{n}{{a}_{1}（{a}_{1}+nd）}$
• C． $\frac{d}{{a}_{1}（{a}_{1}+nd）}$
• D． $\frac{n+1}{{a}_{1}[{a}_{1}+（n+1）d]}$

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列的通项公式得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，由此能求出$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$的值．

解答 解：∵等差数列公差为d，且a_n≠0，d≠0，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$
=$\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$
=$\frac{n}{{a}_{1}•{a}_{n+1}}$
=$\frac{n}{{a}_{1}（{a}_{1}+nd）}$．
故选：B．

点评 本题考查有关等差数列的求值，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．