Question

4．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
（1）求证：直线l过定点A（3，1），且直线l与圆C 相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入直线l的方程，得出方程成立即可证明l过定点A；再由|AC|＜r，证明直线l与圆C相交；
（2）由平面几何的知识得l被圆C截得最短的弦是与直径AC垂直的弦，由此求出直线l的方程．

解答 解：（1）证明：将点A（3，1）代入直线l的方程，
得左边=3（2m+1）+（m+1）=7m+4=右边，
所以直线l过定点A；
又|AC|=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+（1-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5，
所以点A在圆C内，
所以对任意的实数m，直线l与圆C恒相交；
（2）由平面几何的知识可得，
l被圆C截得最短的弦是与直径AC垂直的弦，
因为k_AC=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
所以直线l的斜率为k_l=2，
所以直线l的方程为y-1=2（x-3），
即2x-y-5=0为直线l被圆C截得的弦长最短时的方程．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了直线过定点的应用问题以及两点间的距离公式的应用问题，是基础题．