Question

19．已知圆x²+y²-2x+4y+1=0关于直线2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）对称，则$\frac{9}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是16．

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心坐标，由题意将圆心坐标代入直线方程化简，由“1”的代换和基本不等式求出答案．

解答 解：圆x²+y²-2x+4y+1=0的圆心坐标是（1，-2），
∵此圆关于直线2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）对称，
∴直线过圆心，则2a+2b-2=0，即a+b=1，
∴$\frac{9}{a}+\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{9}{a}+\frac{1}{b}$）=10+$\frac{a}{b}+\frac{9b}{a}$≥10+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{9b}{a}}$=16，当且仅当$\frac{a}{b}=\frac{9b}{a}$时取等号，
∴$\frac{a}{b}+\frac{9b}{a}$的最小值是16，
故答案为：16．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，“1”的代换，基本不等式求最值问题，考查化简、变形能力．