Question

9．若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）对于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．

Answer 1

分析 直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a-1）（2a+b-1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d_min=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．由于存在实数a、b使得不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）对于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，可得$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）_{min}$≥20（a²+b²）_min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．

解答 解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，
∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，
∴（a-1）（2a+b-1）≤0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{a-1≤0}\\{2a+b-1≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥0}\\{2a+b-1≤0}\end{array}\right.$；
画出它们表示的平面区域，如图所示．
a²+b²表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线2x+y-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
∵d_min=$\frac{1}{\sqrt{5}}$
那么a²+b²的最小值为：d²=$\frac{1}{5}$．
由于存在实数a、b使得不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）对于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，
∴$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）_{min}$≥20（a²+b²）_min=4，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．
∴$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）$=1+p+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{psi{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$≥1+p+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}•\frac{psi{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}}$=1+p+2$\sqrt{p}$，
当且仅当tan²θ=$\frac{1}{\sqrt{p}}$时取等号．
∴1+p+2$\sqrt{p}$≥4，p＞0，解得1≤p．
∴tanθ=1，即$θ=\frac{π}{4}$时取等号．
故答案为：[1，+∞）．

点评 本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．