Question

20．如图，在直三棱柱ABA₁-DCD₁中，${D_1}C=\sqrt{2}a$，DD₁=DA=DC=a，点E、F分别是BC、DC的中点．
（Ⅰ）证明：AF⊥ED₁；
（Ⅱ）求点E到平面AFD₁的距离．

Answer 1

分析 法一：（I）由已知得$D{D_1}^2+D{C^2}={D_1}{C^2}$，DD₁⊥DC．利用线面垂直的判定定理可得DD₁⊥平面ABCD．于是DD₁⊥AF．由已知可得△ADF≌△CDE，得到AF⊥DE．即可证明AF⊥平面D₁DE，AF⊥ED₁．
（Ⅱ）设三棱锥D₁-AEF的体积为V，点E到平面AFD₁的距离为h，利用${V}_{{D}_{1}-AEF}$=${V}_{E-A{D}_{1}F}$即可得出．
法二：（I）由已知得$D{D_1}^2+D{C^2}={D_1}{C^2}$，可得DD₁⊥DC．如图所示，建立空间直角坐标系．计算$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=0，即可证明$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{{D}_{1}E}$．
（II）设平面AD₁F的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$，可得点E到平面AFD₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 法一：（I）证明：由已知得$D{D_1}^2+D{C^2}={D_1}{C^2}$，DD₁⊥DC．
连接DE，由已知得AD⊥DD₁，又DD₁⊥DC，AD∩DC=D，∴DD₁⊥平面ABCD．
又AF?平面ABCD，∴DD₁⊥AF．
DA=DC=a，$CE=DF=\frac{1}{2}a$，∠ADF=∠DCE=90°，△ADF≌△CDE，∠DAF=∠CDE，AF⊥DE．
又DD₁∩DE=D，∴AF⊥平面D₁DE，AF⊥ED₁．
（Ⅱ）设三棱锥D₁-AEF的体积为V，点E到平面AFD₁的距离为h，$V=\frac{1}{3}×{S_{△AEF}}×D{D_1}=\frac{1}{3}×（{a^2}-2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×a-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}a）×a=\frac{1}{8}{a^3}$，
${D_1}F=AF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}a$，$A{D_1}=\sqrt{2}a$，
过F作FG⊥AD₁于G，则$FG=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，△AD₁F的面积$S=\frac{{\sqrt{6}}}{4}{a^2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{4}{a^2}×h=\frac{1}{8}{a^3}$，解得$h=\frac{{\sqrt{6}}}{4}a$．）
法二：（I）证明：由已知得$D{D_1}^2+D{C^2}={D_1}{C^2}$，∴DD₁⊥DC．
如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），E（$\frac{a}{2}$，a，0），F（0，$\frac{a}{2}$，0），
D₁（0，0，a）．
$\overrightarrow{AF}$=$（-a，\frac{a}{2}，0）$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=$（\frac{a}{2}，a，-a）$．
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$+0=0，∴$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{{D}_{1}E}$．
∴AF⊥ED₁．
（II）解：$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-a，0，a），$\overrightarrow{AE}$=$（-\frac{a}{2}，a，0）$．
设平面AD₁F的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\frac{a}{2}y=0}\\{-ax+az=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
∴点E到平面AFD₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\frac{a}{2}+2a|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}a$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直判定与性质定理、等体积法、法向量的应用、相互垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．