Question

12．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≥2m+1（m＞0）的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞），求实数m的值；
（2）若不等式f（x）≤2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$+|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≥2m+1（m＞0）的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞），求得m的值．
（2）由题意可得g（x）=|2x-1|-|2x+3|的最小值小于或等于2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$ 恒成立，再利用基本不等式求得2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$ 的最小值为2$\sqrt{a}$，可得2$\sqrt{a}$≥4，从而求得a的范围．

解答 解：（1）∵不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≥2m+1（m＞0）的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞），
即|2（x+$\frac{1}{2}$）-1|≤2m+1 的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤-2m-1，
求得 x≥m+$\frac{1}{2}$，或x≤-m-$\frac{1}{2}$，
故|2（x+$\frac{1}{2}$）-1|≤2m+1 的解集为（-∞，-m-$\frac{1}{2}$]∪[m+$\frac{1}{2}$，+∞），
故有m+$\frac{1}{2}$=2，且-m-$\frac{1}{2}$=-2，
∴m=$\frac{3}{2}$．
（2）∵不等式f（x）≤2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$+|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，
∴|2x-1|≤2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$+|2x+3|恒成立，
即|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$  恒成立，
故g（x）=|2x-1|-|2x+3|的最小值小于或等于2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$．
∵|2x-1|-|2x+3|≤|2x-1-（2x+3）|=4，
∴4≤2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$ 恒成立，
∵2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$≥2$\sqrt{a}$，
∴2$\sqrt{a}$≥4，
∴a≥4，
故实数a的最小值为4．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．