Question

1．已知f_n（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整数．
（1）解不等式f₂（x）≤2x；
（2）试分别证明：函数f₃（x）在（0，1）内有一个零点，且在（0，1）内仅有一个零点．

Answer 1

分析 （1）根据函数的表达式求出当n=2时，f₂（x）的表达式，即可解不等式f₂（x）≤2x；
（2）根据函数零点的判定条件进行证明即可．

解答 解：（1）n=2时，${f_2}（x）={x^2}+x-1$，--（1分）
由f₂（x）≤2x得x²+x-1≤2x，即x²-x-1≤0．-（3分）
得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，--（5分）
故不等式的解集为[$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]．-（7分）
证明：（2）${f_3}（{\frac{1}{2}}）={（{\frac{1}{2}}）^3}+{（{\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{8}＜0$．-（2分），
f₃（1）=2＞0．-（3分）
（因f连续）故f（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上有零点．-（4分）
又f在$（{\frac{1}{2}，1}）$上增，故零点不会超过一个．-（7分）

点评 本题主要考查一元多项式的不等式的求解以及函数零点的判断，利用函数零点的判定定理是解决本题的关键．属于中档题．