Question

5．如图，三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB=6，BC=12，AC=6$\sqrt{5}$．SB=6$\sqrt{2}$，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为216π．

Answer 1

分析 由SA⊥平面ABC，可得SA⊥AB，SA的长度．由于AB²+BC²=AC²，可得∠ABC=90°．可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为SC的长．

解答 解：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB．∴SA=$\sqrt{S{B}^{2}-A{B}^{2}}$=6．
∵AB²+BC²=6²+12²=180=$（6\sqrt{5}）^{2}$=AC²，∴∠ABC=90°
可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为SC的长．
SC²=SA²+AC²=${6}^{2}+（6\sqrt{5}）^{2}$=216，解得SC=$6\sqrt{6}$，
∴2R=6$\sqrt{6}$，解得R=3$\sqrt{6}$．
故所求的外接球的表面积S=4πR²=4π×$（3\sqrt{6}）^{2}$=216π．
故答案为：216π
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点评 本题考查了三棱锥与长方体的外接球、勾股定理及其逆定理、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．