Question

13．已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰直角三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．
（1）若G为线段DF的中点，求证；EG∥平面ABCD；
（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由ABCD为矩形，得DA⊥AB，又DA⊥AE，可得DA⊥平面ABFE，结合∠ABF=90°，得BF⊥平面ABCD，从而得到直线BA，BF，BC两两垂直，以B为原点建立坐标系，则$\overrightarrow{BF}$为平面ABCD的法向量，求出$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EG}$的坐标，通过计算$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{BF}$=0得出$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow{BF}$，从而有EG∥平面ABCD；
（2）假设存在点N符合条件，设$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}$，求出$\overrightarrow{BN}$和平面FCD的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，令|cos＜$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{5}$解出λ，根据λ的值得出结论．

解答 （1）证明：∵ABCD为矩形，∴DA⊥AB，又DA⊥AE，
∴DA⊥平面ABFE，则平面ABCD⊥平面ABFE，
∵∠ABF=90°，∴BF⊥平面ABCD，
∴直线BA，BF，BC两两垂直，
以B为原点，分别以BA，BF，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则F（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴G（1，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{EG}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，0）．
∵BF⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{BF}$为平面ABCD的一个法向量，
∵$\overrightarrow{EG}$•$\overrightarrow{BF}$=-1×0+0×2+$\frac{1}{2}$×0=0，
∴$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow{BF}$，又EG?平面ABCD，
∴EG∥平面ABCD；
（2）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$．
事实上：
∵$\overrightarrow{FD}$=（2，-2，1），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），
设平面FCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{2x-2y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2）．
假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于$\frac{2}{5}$，
设$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}$=（2λ，-2λ，λ）（0≤λ≤1），
∴$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FN}$=（2λ，2-2λ，λ）．
∴cos＜$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BN}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{9{λ}^{2}-8λ+4}}=\frac{2}{5}$，
∴9λ²-8λ-1=0，解得λ=1或λ=-$\frac{1}{9}$（舍去）．
∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，训练了利用向量法求解空间几何问题，属中档题．