Question

3．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l过点P（1，0），倾斜角α=$\frac{π}{6}$
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（Ⅱ）将曲线C上所有点的纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（横坐标不变）得到曲线C′，直线l与曲线C′相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用极坐标和直角坐标的关系：x²+y²=ρ²，可得曲线C的方程；由直线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为倾斜角），可得直线的参数方程；
（Ⅱ）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=2y′}\end{array}\right.$代入C得曲线C′的方程，将直线l的参数方程代入C′的方程，整理后运用韦达定理和参数的几何意义，可得|AB|=|t₁-t₂|，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2得ρ²=4，可得曲线C的直角坐标方程：x²+y²=4；
直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数）
即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
（Ⅱ）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=2y′}\end{array}\right.$代入C得：x′²+4y′²=4，
∴曲线C′的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
将直线l的参数方程代入C′的方程且整理得：$\frac{7}{4}$t²+$\sqrt{3}$t-3=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{4\sqrt{3}}{7}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-\frac{12}{7}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{48}{49}+\frac{48}{7}}$=$\frac{8\sqrt{6}}{7}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程的运用，注意运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．