Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，左顶点到一条渐近线的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，则该双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，左顶点到一条渐近线的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程．

解答 解：由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，
解的b=2，a=2$\sqrt{2}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．