Question

8．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{3}{5}t}\\{y=-1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求M，N两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{3}{5}t}\\{y=-1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程．
曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：ρ²=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：5t²-21t+20=0，利用|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{3}{5}t}\\{y=-1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程：4x-3y+1=0．
曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：ρ²=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），可得曲线C的直角坐标方程：
x²+y²=x+y．
（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：5t²-21t+20=0，
∴t₁+t₂=$\frac{21}{5}$，t₁•t₂=4．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{5}$．

点评 本题考查了直线参数的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．