Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且b=2
（1）若角A，B，C成等差数列，求△ABC外接圆的半径；
（2）若三边a，b，c成等差数列，求△ABC内切圆半径的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质，可得B=$\frac{π}{3}$，根据正弦定理，即可求出半径；
（2）由等差数列的性质可得a+b+c=6，根据三角的面积公式和余弦定理和基本不等式即可求出．

解答 解：（1）由A，B，C成等差数列及A+B+C=π，得B=$\frac{π}{3}$，
设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理2R=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$，R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
（2）由三边a，b，c成等差数列得2b=a+c，
所以a+b+c=6，
设△ABC内切圆半径为r，面积为S，则S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r=$\frac{1}{2}$accosB，
所以r=$\frac{acsinB}{6}$，
因为a+c=4≥2，
所以ac≤4，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-4}{2ac}$=$\frac{12-2ac}{2ac}$=$\frac{6}{ac}$-1≥$\frac{6}{4}$-1=$\frac{1}{2}$（a=c取等号），
所以B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
所以sinB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（B=$\frac{π}{3}$时取等号），
所以r=$\frac{acsinB}{6}$≤$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a=c，B=$\frac{π}{3}$时取等号，即三角形为正三角形时）

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题