Question

15．在（x+1）（x³+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，各项系数的和为256，则x项的系数是7（用数字作答）

Answer 1

分析 令x=1，则2×2ⁿ=256，解得n=7.$（{x}^{3}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{7}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$（x³）^7-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{7}^{r}$${x}^{21-\frac{7r}{2}}$．令21-$\frac{7r}{2}$=0，解得r，令21-$\frac{7r}{2}$=1，解得r．即可得出．

解答 解：令x=1，则2×2ⁿ=256，解得n=7．
$（{x}^{3}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{7}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$（x³）^7-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{7}^{r}$${x}^{21-\frac{7r}{2}}$．
令21-$\frac{7r}{2}$=0，解得r=6，令21-$\frac{7r}{2}$=1，无解．
∴x项的系数=1×${∁}_{7}^{6}$=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．