Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{2^x}-1|，x≤1\\|{log_{2017}}（x-1）|，x＞1\end{array}$，若方程f（x）=t有四个不同的实数根a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，则a+b+$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$的取值范围为（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [1，2017）
• C． （-∞，1）
• D． （1，2017）

Answer 1

分析 画出f（x）的图象，可得1-2^a=2^b-1=-log₂₀₁₇（c-1）=log₂₀₁₇（d-1）=t，（0＜t＜1），分别用t表示a，b，c，d，再由指数和对数的运算性质及不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{2^x}-1|，x≤1\\|{log_{2017}}（x-1）|，x＞1\end{array}$，
若方程f（x）=t有四个不同的实数根a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，
可得1-2^a=2^b-1=-log₂₀₁₇（c-1）=log₂₀₁₇（d-1）=t，（0＜t＜1），
即有2^a=1-t，2^b=1+t，
a+b=log₂（1-t）+log₂（1+t）=log₂（1-t²）＜0，
c-1=2017^-t，d-1=2017^t，
$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$=$\frac{1}{1+201{7}^{-t}}$+$\frac{1}{1+201{7}^{t}}$=$\frac{201{7}^{t}+1}{1+201{7}^{t}}$=1，
则a+b+$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$＜1．
故选：C．

点评 本题考查方程根的情况，考查数形结合思想方法和转化思想，同时考查对数和指数的运算性质，不等式的性质，属于中档题．