Question

4．设不等式0＜|x+2|-|1-x|＜2的解集为M，a，b∈M
（1）证明：|a+$\frac{1}{2}$b|＜$\frac{3}{4}$；
（2）比较|4ab-1|与2|b-a|的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出M，再利用绝对值不等式证明即可；
（2）利用作差方法，比较|4ab-1|与2|b-a|的大小．

解答 （1）证明：记f（x）=|x+2|-|1-x|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≤-2}\\{2x+1，-2＜x＜1}\\{3，x≥1}\end{array}\right.$，
∴由0＜2x+1＜2，解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，∴M=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
∴|a+$\frac{1}{2}$b|≤|a|+$\frac{1}{2}$|b|$＜\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=＜$\frac{3}{4}$；
（2）解：由（1）可得a²＜$\frac{1}{4}$，b²＜$\frac{1}{4}$，
∴（4ab-1）²-4（b-a）²=（4a²-1）（4b²-1）＞0，
∴|4ab-1|＞2|b-a|．

点评 本题考查绝对值不等式的运用，考查作差方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．