Question

7．已知圆F₁：（x+1）²+y²=16，定点F₂（1，0），A是圆F₁上的一动点，线段F₂A的垂直平分线交半径F₁A于P点．
（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若k_EG•k_FH=-$\frac{3}{4}$，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的定义，即可求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，求出面积，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：因为P在线段F₂A的中垂线上，所以|PF₂|=|PA|．（1分）
所以|PF₂|+|PF₁|=|PA|+|PF₁|=|AF₁|=4＞|F₁F₂|，（2分）
所以轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，且c=1，a=2，所以$b=\sqrt{3}$，（3分）
故轨迹C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（4分）
（Ⅱ）证明：不妨设点E、H位于x轴的上方，
则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，E（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．（5分）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．①（6分）
由${k_{EG}}•{k_{FH}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，
得$\frac{{（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$．②（7分）
由①、②，得2m²-4k²-3=0．③（8分）
设原点到直线EH的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，（9分）$|{EH}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{16（{12{k^2}-3{m^2}+9}）}}}{{3+4{k^2}}}$，（10分）${S_{四边形EFGH}}=4{S_{△EOH}}=2|{EH}|•d=\frac{{8|m|\sqrt{12{k^2}-3{m^2}+9}}}{{3+4{k^2}}}$④（11分）
由③、④，得${S_{四边形EFGH}}=4\sqrt{3}$，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为$4\sqrt{3}$．（12分）

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题．