Question

2．已知函数f（x）=|2x+a|+|2x-2b|+3
（Ⅰ）若a=1，b=1，求不等式f（x）＞8的解集；
（Ⅱ）当a＞0，b＞0时，若f（x）的最小值为5，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1，b=1，不等式f（x）＞8为|2x+1|+|2x-2|＞5，分类讨论求不等式f（x）＞8的解集；
（Ⅱ）f（x）的最小值为a+2b+3，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，b=1，不等式f（x）＞8为|2x+1|+|2x-2|＞5
x≥1，不等式可化为4x-1＞5，∴x＞1.5，
-0.5＜x＜1，不等式可化为3＞5，不成立，
x≤-0.5，不等式可化为1-4x＞5，∴x＜-1，
综上所述，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞1.5}；
（Ⅱ）f（x）=|2x+a|+|2x-2b|+3≥|2x+a-2x+2b|+3=|a+2b|+3，
∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最小值为a+2b+3，
∴a+2b+3=5，∴a+2b=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+2b）=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，考查基本不等式，属于中档题．