Question

12．如图，抛物线C₁：y=b-x²经过椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点及上顶点M，过点M的两条互相垂直的直线l₁，l₂分别交抛物线于A，B两点，交椭圆于D，E两点，已知抛物线C₁：y=b-x²与x轴所围成的区域面积为$\frac{4}{3}$．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S₁，S₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{8}$，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线与x轴的交点，由定积分公式计算可得b=1，再由抛物线经过椭圆的焦点，可得c=1，求得a，即可得到C₁，C₂的方程；
（2）设直线MA的斜率为k₁，又M（0，1），直线MA的方程为y=k₁x+1与y=1-x²联立，求得A的坐标，同理可得B的坐标，运用三角形的面积公式可得S₁，再由y=k₁x+1与椭圆方程x²+2y²=2联立，求得D的坐标，同理可得E的坐标，运用三角形的面积公式可得S₂，相除可得k₁，k₂的关系式，解方程可得k₁²，注意k₁k₂=-1，求出直线AB的斜率，由点斜式方程可得直线AB的方程．

解答 解：（1）抛物线C₁：y=b-x²与x轴的交点为（-$\sqrt{b}$，0），（$\sqrt{b}$，0），
则抛物线C₁：y=b-x²与x轴所围成的区域面积为${∫}_{-\sqrt{b}}^{\sqrt{b}}$（b-x²）dx
=（bx-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-\sqrt{b}}^{\sqrt{b}}$=b$\sqrt{b}$-$\frac{1}{3}$b$\sqrt{b}$+b$\sqrt{b}$-$\frac{1}{3}$b$\sqrt{b}$=$\frac{4}{3}$b$\sqrt{b}$=$\frac{4}{3}$，
解得b=1，
由题意可得b-c²=0，即有c=1，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
则C₁的方程为y=1-x²；C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设直线MA的斜率为k₁，又M（0，1），
直线MA的方程为y=k₁x+1与y=1-x²联立得x²+k₁x=0，
∴x=0或x=-k₁，∴A（-k₁，1-k₁²）
同理可得B（-k₂，1-k₂²），
∴S₁=$\frac{1}{2}$|MA||MB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{1}}^{4}}$•$\sqrt{{{k}_{2}}^{2}+{{k}_{2}}^{4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$•|k₁||k₂|；
y=k₁x+1与椭圆方程x²+2y²=2联立，可得（1+2k₁²）x²+4k₁x=0，
解得x=0（舍去）或x=-$\frac{4{k}_{1}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
即D（-$\frac{4{k}_{1}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{1-2{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$），
同理可得E（-$\frac{4{k}_{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{1-2{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$），
∴S₂=$\frac{1}{2}$|MD||ME|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{4{k}_{1}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}）^{2}+（\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}）^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}_{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}）^{2}+（\frac{4{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}）^{2}}$
=8|k₁||k₂|•$\frac{\sqrt{（1+{{k}_{1}}^{2}）（1+{{k}_{2}}^{2}）}}{（1+2{{k}_{1}}^{2}）（1+2{{k}_{2}}^{2}）}$，
由k₁k₂=-1，
可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{16}$（1+2k₁²）（1+2k₂²）=$\frac{1}{16}$（1+4k₁²k₂²+2k₁²+2k₂²）=$\frac{1}{16}$（5+2k₁²+2k₂²）=$\frac{5}{8}$，
可得k₁²+k₂²=$\frac{5}{2}$，即有k₁²+$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
解得k₁²=2或$\frac{1}{2}$，
k_AB=$\frac{{{k}_{2}}^{2}-{{k}_{1}}^{2}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$=k₁+k₂，
直线AB的方程为y-（1-k₁²）=（k₁+k₂）（x+k₁），
即为y-1+k₁²=（k₁+k₂）x+k₁²+k₁k₂，
即有y=（k₁+k₂）x，
则直线AB的方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．