Question

18．已知点P是圆F₁：（x-1）²+y²=8上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称，线段PF₂的垂直平分线分别与PF₁，PF₂交于M，N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点$G（{0，\frac{1}{3}}）$的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．
（2）直线l的方程可设为$y=kx+\frac{1}{3}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$，求得m=-1．推出结果即可．

解答 解：（1）由题意得$|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=|{M{F_1}}|+|{MP}|=|{{F_1}P}|=2\sqrt{2}＞|{{F_1}{F_2}}|=2$，
∴点M的轨迹C为以F₁，F₂为焦点的椭圆∵$2a=2\sqrt{2}，2c=2$，
∴点M的轨迹C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）直线l的方程可设为$y=kx+\frac{1}{3}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+\frac{1}{3}\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$可得9（1+2k²）x²+12kx-16=0．
由求根公式化简整理得${x_1}+{x_2}=-\frac{4k}{{3（1+2{k^2}）}}，{x_1}{x_2}=-\frac{16}{{9（1+2{k^2}）}}$，
假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则$\overrightarrow{AQ}⊥\overrightarrow{BQ}$即$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．
∵$\overrightarrow{AQ}=（-{x_1}，m-{y_1}），\overrightarrow{BQ}=（-{x_2}，m-{y_2}）$，
$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}={x_1}{x_2}+（m-{y_1}）（m-{y_2}）={x_1}{x_2}+（m-k{x_1}-\frac{1}{3}）（m-k{x_2}-\frac{1}{3}）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+k（\frac{1}{3}-m）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}-\frac{2m}{3}+\frac{1}{9}$=$-\frac{{16（1+{k^2}）}}{{9（1+2{k^2}）}}-\frac{{12{k^2}（\frac{1}{3}-m）}}{{9（1+2{k^2}）}}+{m^2}-\frac{2m}{3}+\frac{1}{9}$=$\frac{{（18{m^2}-18）{k^2}+（9{m^2}-6m-15）}}{{9（1+2{k^2}）}}=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}18{m^2}-18=0\\ 9{m^2}-6m-15=0\end{array}\right.$求得m=-1．
因此，在y轴上存在定点Q（0，-1），使以AB为直径的圆恒过这个点．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．